OCTUBRE

VECTORES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

FUNCIONES IMPLÍCITAS

En R^2 : F(x,y)=0

Existen una o más funciones

   y=f1(x)  ; x=f2(y)

   y=g1(x) ; x=g2(y)

Geométricamente representa una CURVA en el plano R^2

SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

F(x,y)=0

G(x;y)=0

Este sistema representa la intersección de la CURVA generando uno o más puntos.

 En R^3

  x=f(y,z) ; x=f1(y,z)

  y=g(x,z) ; y=f1(x,z)

  z=h(x,y) ; z=f1(x,y)

  

Geométrica-mente las funciones implícitas representan una SUPERFICIE en   el espacio.

RECTA EN EL ESPACIO

Una recta en el espacio queda determinada por un punto de ella A ( x₁, y₁, z₁)   y un vector director  u^→ = ( a, b, c)

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO 

DADO UN PUNTO Y EL VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA

                                                                                    Datos:

Mo(xo,yo,zo)

 â=(l,m,n) ==> dirección del vector 

Dados esto datos la ecuación vectorial de la recta L es: 

Ecuación Vectorial de la recta: 

 r= ro + tâ

Ecuaciones Para métricas de la Recta:

x=xo+tl  

y=yo+tm 

z=zo+tn  

Ecuación Cartesiana o Canónica de la recta 

x-xo/l = y-yo/m = z-zo/n

DADOS DOS PUNTOS

Datos:

M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)

Dados esto datos la ecuación vectorial entre dos puntos es:

Ecuación Vectorial de la recta:

r=r1+t(r2-r1)  

Ecuaciones Para métricas de la Recta:

x=x1+t(x2-x1) 

y=y1+t(y2-y1) 
z=z1+t(z2-z1) 

Ecuación Cartesiana o Canónica de la recta :

x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1 = z-z1/z2-z1

ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO 

ECUACIÓN DEL PLANO DADO UN PUNTO Y EL VECTOR NORMAL AL PLANO

Datos:
              Mo(xo,yo,zo) (PUNTO INICIAL)

              n=(A,B,C)  (VECTOR NORMAL AL PLANO)

              r=(x,y,z)

              ro=(xo,yo,zo) (POSICIÓN PUNTO INICIAL)

Dados estos datos la ecuación vectorial entre dos puntos es:             

Ecuación Vectorial del plano:

(r-ro)•n=0                                      

Ecuación General del plano:

Ax+By+Cz+D=0

                                                                  

             

ECUACIONES INCOMPLETAS 

i) Si C=0;

Ax+By+Cz+D=0 

Ax+By+D=0 
Ecuación del plano con generatriz paralela al eje "z".

ii)  Si B=0;

Ax+By+Cz+D=0 
Ax+Cz+D=0 
Ecuación del plano con generatriz paralela al eje "y".

iii)Si A=0 ;

Ax+By+Cz+D=0 
By+Cz+D=0 
Ecuación del plano con generatriz paralela al eje "x".

iv)Si A=0 y B=0 ;

Ax+By+Cz+D=0 
Cz+D=0 

Ecuación del plano con generatriz paralela al plano "xoy"

La Esfera

El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que se  mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante.

El punto fijo se llama centro y la distancia radio.

Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es:

                                                                                             (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²,

donde r es el radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos.

En el caso de la circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la esfera hablaremos del plano tangente a una esfera, el cual se obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de contacto y determinar la ecuación de la normal al plano.

La forma general de la ecuación de la esfera es : 

                                                                                               x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K = 0 

Superficies Cilíndricas

Las superficies cilíndricas son superficies generadas por una recta, cuando se desplaza a través de una curva plana, manteniéndose siempre paralela a sí misma. A dicha recta se la llama generatriz de la superficie y a la curva, directriz. La ecuación de una superficie cilíndrica de directriz G y generatriz d (paralela a u → (u1, u2, u3) y que corta a la directriz en P0(x0, y0, z0)) se obtiene reemplazando en la ecuación de la curva directriz las coordenadas de P0, despejadas de la ecuación de d. Entonces, si las ecuaciones de G y d son: despejando las coordenadas de P0 y reemplazándolas en la ecuación de G se obtiene: Eliminando t de las ecuaciones anteriores se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica.

Ejemplos:

z = x^2

Superficies Cuadráticas

Son superficies que tienen por ecuación:

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, hiperboloides...etc.
Algunos ejemplos bastantes relevantes son:

ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS SUPERFICIES  

Para realizar una gráfica de las superficies a continuación puntualizamos los pasos a seguir:

I) Intersección con los ejes coordenados

   i) Con el eje OX

  ii) Con el eje OY

  iii) Con el eje OZ

II) Intersección con los planos coordenados

   i) Con el plano XOY

  ii) Con el plano XOZ

  iii) Con el plano YOZ

III) Intersección con los planos perpendiculares a los planos coordenados

   i) Con los planos perpendiculares al plano XOY

  ii) Con los planos perpendiculares al plano XOZ

  iii) Con los planos perpendiculares al plano YOZ

IV) Representación Gráfica

FUNCIÓN VECTORIAL

Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRⁿ  se denomina función vectorial de variable real.

Simbólicamente;

                                   F: I ⊂ IR ⇾IRⁿ

                                               t⇾  F(t)

La función F asocia a cada número real t ∈ IR un y solo un vector F(t)  en IRⁿ ; donde

                                   F(t) = ( f₁(t) , f₂(t) , f₃(t) ,…, f_n(t) )

Cada f_i  es una función real de una variable real, t;

                                   f_i: Dom(f_i)⊂ IR ⇾ IR     ; ∀ i = 1 , 2, 3 , …, n

                                                           t⇾ f_i(t)

Dom(f_i) es el dominio de la función real f_i.

Las funciones f_i son llamadas funciones coordenadas o componentes.

El dominio de F se denota por Dom(F) y es dado por la interseccion de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;

                                                  Dom(F)= ⋂_(i=1)^n▒〖Dom(f_i)〗

NOTA.- El dominio de F es el mayor subconjunto de IR para el cual F(t) tiene sentido

OPERACIONES:

Suma:  (f+g)(t) = [ f1(t) + g1(t)]; [f2(t) + g2(t)];........; [fn(t) + gn(t)]

Producto de una función por un escalar: a.f(t) = a.f1(t); af2(t);........; a.fn(t)

Producto de funciones : < f(t)/g(t) > = f1(t).g1(t) + f2(t).g2(t) + ......... + fn(t).gn(t)

El modulo del vector es igual a la raíz cuadrada de cada uno de sus componentes elevados al cuadrado

Composición de funciones: (foh)(t) ssi f es función vectorial y g es función real

CONTINUIDAD

Sea F: I c R -> R^n

         t  -> F(t) = (f1(t),f2(t);...fn(t))

Se dice que F(t) es continua en to, si se cumple:

 lim  F(t)=F(to)

 t->to

i)∃ F(t0)

ii)∃ lim  F(t)

      t->to 

iii) lim  F(t) = F(to)

    t->to

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

DERIVACIÓN

Dada una función vectorial 
F: I --> R^n, donde  I c R y sea to ∈ I, se dice que F es derivable en to, si existe:

 lim   F(to+h)-F(to)/h
h->0
Notación
La derivada de F(t), se denota por:
F'(to)=DtF(to)=dF(to)/dt
Por tanto:
F'(to) =  lim F(to+h)-F(to)/h
             h->0

INTEGRALES

La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Pero entonces puede expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, t y h como sigue.

LONGITUD DE ARCO

La longitud de una curva en el espacio se define exactamente de la misma manera (véase figura). Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial r (t) =[ f (t ), g (t) , h( t) , ] a <= t <= b, o bien, de forma paramétrica x = f ( t) , y  = g ( t),z  = h ( t) , donde f ', g' y h' son continuas. Si la curva se recorre exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, entonces

se puede demostrar que su longitud es

TRIEDRO MÓVIL 

r(t)=(f(t),g(t),h(t))

r(s)=(Φ(t),φ(t),γ(t))

r'(t)=(f'(t),g'(t),h'(t))

Vector Tangente: r'(t)= T            Vector Binormal: B=r'(t) x r''(t)   Vector Normal Principal: N=B x T         

eje OX ==>RT                      i ==> T=T/|T|
eje OY ==>RN                     j ==> N=N/|N|
eje OZ ==>RB                      k ==> B=B/|B|

Plano osculador               T^N

Plano normal                    B^N

Plano rectificante              T^B 

PLANO OSCULADOR (PO)
Mo(xo,yo,zo) ; n=B=(B1,B2,B3)
(r-ro)•B=0
(x-xo;y-yo,z-zo)•(B1,B2,B3)=0
B1(x-xo)+B2(y-yo)+B3(z-zo)=0

PLANO NORMAL (PNP)
Mo(xo,yo,zo) ;  n=T=(T1,T2,T3)
(r-ro)•T=0
T1(x-xo)+T2(y-yo)+T3(z-zo)=0

PLANO RECTIFICANTE (PR)
Mo(xo,yo,zo) ; n=N=(N1,N2,N3)
(r-ro)•N=0
N1(x-xo)+N2(y-yo)+N3(z-zo)=0

RECTA TANGENTE (RT)
Mo(xo,yo,zo) ; a=T=(T1,T2,T3)
r=ro+ta
r=ro+tT
x=xo+tT1
y=yo+tT2
z=zo+tT3

RECTA NORMAL (RN)
Mo(xo,yo,zo) ; a=N=(N1,N2,N3)
x-xo/N1 = y-yo/N2 = z-zo/N3

RECTA BINOMIAL (RB)
Mo(xo,yo,zo) ; a=B=(B1,B2,B3)
x-xo/B1 = y-yo/B2 = z-zo/B3

Referencias:

• Libro - "Calculo de varias variables"  Stewart 6ª edición.
• http://www.calculointegrales.com/p/longiutd.html
• http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr2.htm
• http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.htm
• http://www.vitutor.com/analitica/recta/ecuaciones_plano.html