CÁLCULO VECTORIAL: DICIEMBRE

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Se definen puntos críticos como los puntos en los que el gradiente de la función se anula

Definición . Sea A ⊆ R ^ n un conjunto abierto y

f : A → R una función con derivadas segundas continuas en A.

El punto

es un punto critico de f si:

Se puede demostrar que los máximos y mínimos de una función son puntos críticos si se alcanzan en puntos interiores (también pueden ser máximos y mínimos puntos en la frontera, pero entonces no son necesariamente críticos)

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Supongamos que las segundas derivadas parciales de F(x,y) existen y son continuas en un disco de centro (a,b) y supongamos que Fx(a,b)=0 y Fy(a,b)=0 es decir (a,b) es un punto critico de F(x,y) sea

MÍNIMOS Y MÁXIMOS OBSOLETOS

Si f es continua en un conjunto D cerrado y acotado en R^2 y acotado en R^2 entonces f alcanza un valor máximo absoluto F(x1,y1) y un valor mínimo absoluto F(x2,y2)

MÍNIMOS Y MÁXIMOS CONDICIONALES

Para determinar los valores extremos de F(x,y) sujeta a la restricción G(x,y)=k (ecuaciones de enlace) se procede a plantear

INTEGRAL MÚLTIPLE

En R^2:

En R^3

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MAS GENERALES

Región verticalmente simple

región horizontalmente simple

TRANSFORMACIONES A INTEGRALES MÚLTIPLES

El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes. Si se utiliza una transformación que siga la relación:

f(y_1,\ldots,y_n) \rightarrow f(y_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,y_n(x_1,x_2,\ldots,x_n))

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

J=\frac{D(y_1,\ldots,y_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}

TRANSFORMACIÓN A COORDENADAS POLARES

CARTESIANAS - CILÍNDRICAS

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta, z)

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

COORDENADAS ESFÉRICAS

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R³, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación: