ENERO

DISTRIBUCIÓN DE MASA HOMOGÉNEA 

Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente: 

                                                             

DISTRIBUCIÓN DE MASA NO HOMOGÉNEA

Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad p(r). En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.
Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.
Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas.
La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.

Integral de línea

El cálculo de la longitud de una curva en el espacio,

También para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

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CAMPOS VECTORIALES

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.

Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. R^n=>R^m, en donde R^n representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y R^m el espacio vectorial que actúa como rango.

El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial R^3=>R^3, dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una función de tres variables independientes.

Cuando se modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio, se hace usando campos vectoriales.

Otros ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.

REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL

Líneas de fuerza

La representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de fuerza.

Al igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de coordenadas.

En algunas otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.

ROTACIONAL Y DIVERGENCIA

ROTACIONAL

Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero .

Aquí, /\s es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a /\s y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.

El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:

  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (\/f) =0
  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo R^3 cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:

  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (\/f) =0

   Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo R^3 cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

DIVERGENCIA

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.

La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación

La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.

En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula .

Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

INTEGRALES DE LINEA. 

En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Para F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t \in [a, b], está definida como:

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. 

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA INTEGRAL DE L1NEA

Supongamos que g y G son funciones continuas con valores reales definidas sobre un intervalo cerrado [a , b], que G es diferenciable en (a , b) y que G´= g. Entonces:

Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de G en los extremos del intervalo [a , b].

Cuando el campo vectorial F es un campo gradiente (conservativo), existe un teorema equivalente al teorema fundamental del Cálculo, donde el valor de la integral de línea de campos vectoriales conservativos está completamente determinada por el valor de su función potencial f en los extremos c(a) y c(b)  

Esta generalización del Teorema Fundamental brinda una técnica útil para evaluar ciertos tipos de integrales de línea.

TEOREMA DE GREEN

Relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green, y resulta ser un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parcialescontinuas en una región abierta que contiene D,

A veces la notación

se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Referencias:

-Weisstein, Eric W. «Teorema de Green»

 -Derrick, William R. (1984). Variable compleja con aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica.

-Hubbard, J. H.; Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7.

-Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. -New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3.

-Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second ed.). Orlando, FL: -Academic Press. ISBN 0-12-116053-X.